Логарифмы действия над логарифмами

Калькулятор онлайн.Решение логарифмических уравнений

Логарифмы действия над логарифмами

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить логарифмическое уравнение. Программа для решения логарифмического уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения ответа.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.

А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Вы можете посмотреть теорию о логарифмической функции и логарифмах и некоторые методы решения логарифмических уравнений.

Примеры подробного решения >>

ln(b) или log(b) или log(e,b)- натуральный логарифм числа b
log(10,b) – десятичный логарифм числа b
log(a,b) – логарифм b по основанию a

Введите логарифмическое уравнение

Решить уравнение Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать. Возможно у вас включен AdBlock.

В этом случае отключите его и обновите страницу.

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь. Через несколько секунд решение появится ниже.

Пожалуйста подождите  сек…

Наши игры, головоломки, эмуляторы: Создание островаЭмулятор
гравитацииГоловоломка “SumWaves”Игра “msForex”

Задача 1. Найти положительный корень уравнения x4 = 81
По определению арифметического корня имеем \( x = \sqrt[4]{81} = 3 \)

Задача 2. Решить уравнение 3x = 81
Запишем данное уравнение так: 3x = 34, откуда x = 4

В задаче 1 неизвестным является основание степени, а в задаче 2 — показатель степени. Способ решения задачи 2 состоял в том, что левую и правую части уравнения удалось представить в виде степени с одним и тем же основанием 3. Но уже, например, уравнение 3x = 80 таким способом решить не удаётся.

Однако это уравнение имеет корень. Чтобы уметь решать такие уравнения, вводится понятие логарифма числа.
Уравнение ax = b, где a > 0, \( a eq 1 \), b > 0, имеет единственный корень.

Этот корень называют логарифмом числа b no основанию a и обозначают logab
Например, корнем уравнения 3x = 81 является число 4, т.е. log381 = 4.

Определение. Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a > 0, \( a eq 1 \), называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить b

Например:
log28 = 3, так как 23 = 8
\( \log_3 \frac{1}{9} = -2 \), так как \( 3{-2} = \frac{1}{9} \)
log77 = 1, так как 71 = 7 Определение логарифма можно записать так:

$$ a{\log_a b} = b $$ Это равенство справедливо при b > 0, b > 0, \( a eq 1 \). Его обычно называют основным логарифмическим тождеством.

Действие нахождения логарифма числа называют логарифмированием.
Действие нахождения числа по его логарифму называют потенцированием.

Вычислить log64128
Обозначим log64128 = х. По определению логарифма 64x = 128. Так как 64 = 26, 128 = 27, то 2 6x = 27, откуда 6x = 7, х = 7/6.
Ответ log64128 = 7/6

Вычислить \( 3{-2\log_3 5} \) Используя свойства степени и основное логарифмическое тождество, находим

$$ 3{-2\log_3 5} = \left( 3{\log_3 5} \right){-2} = 5{-2} = \frac{1}{25}$$

Решить уравнение log3(1-x) = 2
По определению логарифма 32 = 1 – x, откуда x = -8

При выполнении преобразований выражений, содержащих логарифмы, при вычислениях и при решении уравнений часто используются различные свойства логарифмов. Рассмотрим основные из них.

Пусть а > 0, \( a eq 1 \), b > 0, c > 0, r — любое действительное число. Тогда справедливы формулы:

1) loga(bc) = logab + logac

2) \( \log_a \frac{b}{c} = \log_a b – \log_a c \)
3) logabr = r logab

Для логарифмов чисел составлены специальные таблицы (таблицы логарифмов). Логарифмы вычисляют также с помощью микрокалькулятора. И в том и в другом случае находятся только десятичные или натуральные логарифмы.

Определение. Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10 и пишут
lg b вместо log10b

Определение. Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию e, где e — иррациональное число, приближённо равное 2,7. При этом пишут ln b вместо logeb

Иррациональное число e играет важную роль в математике и её приложениях. Число e можно представить как сумму:
$$ e = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n} + \dots $$ или $$ e = \sum_{n=0}{\infty} \frac{1}{n!} $$ $$ e \approx 2,7182818284 $$

Оказывается, что достаточно знать значения только десятичных или только натуральных логарифмов чисел, чтобы находить логарифмы чисел по любому основанию.
Для этого используется формула замены основания логарифма: $$ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} $$ где b > 0, a > 0, \( a eq 1 \), c > 0, \( c eq 1 \)

Следствия из формулы замены основания логарифма. При c = 10 и c = e получаются формулы перехода к десятичным и натуральным логарифмам:

$$ \log_a b = \frac{\lg b}{\lg a} , \;\; \log_a b = \frac{\ln b}{\ln a} $$

В математике и её приложениях часто встречается логарифмическая функция
y = logax
где а — заданное число, a > 0, \( a eq 1 \)

Логарифмическая функция обладает свойствами: 1) Область определения логарифмической функции — множество всех положительных чисел. 2) Множество значений логарифмической функции — множество всех действительных чисел. 3) Логарифмическая функция не является ограниченной.

4) Логарифмическая функция y = logax является возрастающей на промежутке \( (0; +\infty) \), если a > 1,

и убывающей, если 0 < a < 1.

5) Если a > 1, то функция y = logax принимает положительные значения при х > 1,

отрицательные при 0 < x < 1.

Если 0 < a < 1, то функция y = logax принимает положительные значения при 0 < х < 1,

отрицательные при х > 1.

Ось Oy является вертикальной асимптотой графика функции y = logax

Отметим, что график любой логарифмической функции y = logax проходит через точку (1; 0).
При решении уравнений часто используется следующая теорема:

Теорема. Если logax1 = logax2 где a > 0, \( a eq 1 \), x1 > 0, x2 > 0, то x1 = x2

Логарифмическая функция y = logax и показательная функция y = ax, где a > 0, \( a eq 1 \), взаимно обратны.

Решить уравнение log2(x+1) + log2(x+3) = 3 Предположим, что х — такое число, при котором равенство является верным, т.е. х — корень уравнения. Тогда по свойству логарифма верно равенство

log2((x+1)(x+3)) = 3

Из этого равенства по определению логарифма получаем (x+1)(x+3) = 8

х2 + 4х + 3 = 8, т.е. х2 + 4x – 5 = 0, откуда x1 = 1, х2 = -5

Так как квадратное уравнение является следствием исходного уравнения, то необходима проверка. Проверим, являются ли числа 1 и -5 корнями исходного уравнения. Подставляя в левую часть исходного уравнения х = 1, получаем

log2(1+1) + log2(1+3) = log22 + log24 = 1 + 2 = 3, т.е. х = 1 — корень уравнения.

При х = -5 числа х + 1 и х + 3 отрицательны, и поэтому левая часть уравнения не имеет смысла, т.е. х = -5 не является корнем этого уравнения.

Ответ x = 1

Решить уравнение lg(2×2 – 4x + 12) = lg x + lg(x+3) По свойству логарифмов

lg(2×2 – 4x + 12) = lg(x2 + 3x)

откуда

2×2 – 4x + 12 = x2 + 3x

x2 – 7x + 12 = 0
x1 = 3, х2 = 4 Проверка показывает, что оба значения х являются корнями исходного уравнения.

Ответ x1 = 3, х2 = 4

Решить уравнение log4(2x – 1) • log4x = 2 log4(2x – 1) Преобразуем данное уравнение:

log4(2x – 1) • log4x – 2 log4(2x – 1) = 0

log4(2х – 1) • (log4 x – 2) = 0 Приравнивая каждый из множителей левой части уравнения к нулю, получаем:

1) log4 (2х – 1) = 0, откуда 2х – 1 = 1, х1 = 1

2) log4 х – 2 = 0, откуда log4 = 2, х2 = 16 Проверка показывает, что оба значения х являются корнями исходного уравнения.

Ответ x1 = 1, х2 = 16

Источник: https://www.math-solution.ru/math-task/logarithmic-equality

Логарифмы действия над логарифмами

Логарифмы действия над логарифмами

С тем же успехом log2 64 = 6, поскольку 26 = 64. Операцию нахождения логарифма числа по заданному основанию называют логарифмированием.

Итак, дополним нашу таблицу новой строкой: 212223 242526 248163264 log2 2 = 1log2 4 = 2 log2 8 = 3log2 16 = 4 log2 32 = 5log2 64 = 6 К сожалению, далеко не все логарифмы считаются так легко. Например, попробуйте найти log2 5.

Числа 5 нет в таблице, но логика подсказывает, что логарифм будет лежать где-то на отрезке [2; 3]. Потому что 22 < 5>< 23, а чем больше степень двойки, тем больше получится> Если взять калькулятор и посчитать, чему равны такие логарифмы, то получатся очень длинные числа.

Взгляните сами: log2 5 = 2,32192809. log3 8 = 1,89278926. log5 100 = 2,86135311.

Арифметические действия над логарифмами

Теперь надо опять обратиться к таблице антилогарифмов и найти антилогарифм 0,8853.

Логарифм 103— это просто 3, так как логарифм числа — это степень, в которую надо возвести 10, чтобы получить данное число.

А для того чтобы получить 103, очевидно, надо 10 возвести в третью степень.

Точно так же логарифм 1012 равен 12, а логарифм 10-14 равен —14.

Логарифм числа 6,837 надо искать в таблице логарифмов более подробной, чем приведенная нами. Он равен 0,83487. Тогда 6,837х103 равен 0,83487+3 (вспомните, при перемножении чисел мы суммируем их логарифмы), или 3,83487.

Свойства логарифмов

Введём следующие обозначения.

Рассмотрим пример. Сформулируем следующее свойство логарифмов.

Теорема 2. Если а, b, c – положительные числа, причём a ≠ 1, то справедливо равенство: Другими словами, логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя. Или: логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя.

Эта теорема доказывается аналогично предыдущей. Поэтому вы можете доказать её самостоятельно, воспользовавшись свойствами степеней.

Рассмотрим пример. Сформулируем следующее свойство.

Теорема 3. Если а и b – положительные числа, причём, a ≠ 1, то для любого

Логарифм.

Основное логарифмическое тождество.

Для обозначения корня уравнения ax = b принято употреблять logab (произносим: логарифм числа b по основанию а).

Логарифм числа b по основанию а это показатель , в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b причем a > 0, a ≠ 1, b > 0. Исходя из определения, получаем основное логарифмическое тождество: Примеры: Следствием основного логарифмического тождества является нижеследующее правило. Действительно, когда logab = logaс, то

, откуда, b = c.

Логарифм. Свойства логарифмов

(следствие из свойства 11) Следующие три свойства не очень известны, однако они часто используются при решении логарифмических уравнений, или при упрощении выражений, содержащих логарифмы: 13.

14.

15.

Частные случаи:

— десятичный логарифм

— натуральный логарифм При упрощении выражений, содержащих логарифмы применяется общий подход: 1.

Логарифмические уравнения и неравенства

Эти значения определяются следующей системой неравенств:

С учетом того, что

получаем промежуток, определяющий область допустимых значений данного логарифмического уравнения:

На основании теоремы 1, все условия которой здесь выполнены, переходим к следующему равносильному квадратичному уравнению:

Логарифмирование

за знак логарифма:

Примеры решения уравнений методом логарифмирования.

ОДЗ: x>0.

Логарифмируем обе части уравнения по основанию 3:

В левой части уравнения показатель степени выносим за знак логарифма. В правой части находим значение логарифма:

(Обратите внимание: показатель степени — разность.

Сумму и разность при вынесении за знак логарифма обязательно нужно взять в скобки). Полученное уравнение решаем с помощью.

Пусть

Решение логарифмичеких уравнений. Полное руководство (2019)

Такие уравнения называются смешанными и требуют индивидуального подхода. Как же решать логарифмические уравнения?

На самом деле существует целая масса подходов: это и разложение на множители, и потенцирование, и замена, и работа с основаниями… Но все методы решения логарифмических уравнения роднит одно: их цель свести логарифмические уравнения к простейшему виду: , а затем уже решать уравнение без логарифмов: То есть правило такое: Если уравнение сведено к такому, что слева и справа от знака «равно» стоят логарифмы с одним основанием, то логарифмы мы «зачеркиваем» и решаем оставшееся уравнение. Однако, тут есть один подводный камень: поскольку логарифм определен только тогда, когда то после нахождения корней логарифмического уравнения, мы обязаны сделать проверку!!!

Я не поленюсь и повторю еще раз: В ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ МЫ ВСЕГДА ДЕЛАЕМ ПРОВЕРКУ ПОЛУЧЕННЫХ КОРНЕЙ!!

Те

Логарифмы: примеры и решения

Как найти ответ? Очень просто, нужно найти такую степень, чтобы из 2 в искомой степени получить 8. Проделав в уме некоторые расчеты, получаем число 3!

И верно, ведь 2 в степени 3 дает в ответе число 8.Для многих учеников и студентов эта тема кажется сложной и непонятной, однако на самом деле логарифмы не так страшны, главное — понять общий их смысл и запомнить их свойста и некоторые правила.

Выход на пенсию в россии на северн ПФР дал разъяснения по возрасту выхода на пенсию северянСвежая таблица выхода на пенсию с 2019 по годам в районах Крайнего Севера — новый законПенсия в районах Крайнего Севера и приравненных к ним местностямСеверный стаж для выхода…

Определить октмо по адресу Как узнать свой ОКТМОКоды ОКТМО МоскваКоды ОКТМО по адресу: МоскваОКТМО по адресу Россия, город МоскваКод ОКТМО: что это такое, для чего он нужен, как его узнатьОКТМО по адресу: МоскваОКТМО по ОКАТОКак узнать свой ОКТМО Для этого…

При царапинах на машине во дворе Что делать, если на стоянке поцарапали машину?Втихаря царапают машинуПоцарапали машину во дворе, что делать?Если поцарапали машину во дворе…Что делать, если поцарапали машину на парковке?Совет 1: Что делать, если ночью во дворе…

Порядок прописки ребенка к матери Регистрация ребенка по месту жительства материСроки прописки новорожденного и штрафы за их несоблюдениеПрописка новорожденного ребенкаПрава маленького гражданина: как прописать ребенкаПравила регистрации ребенка при рождении…

Порядок проведения перепланировки квартиры Правила и нормы перепланировки квартирПерепланировка: порядок действийОформление перепланировки квартирыПорядок проведения переустройства и перепланировкиПошаговый порядок действий при перепланировке квартирыКак узаконить…

Проверить очередь в детский сад по номеру заявления миасс Для этого нужно лично явиться в удобное для вас отделение и предоставить полный пакет документов (уточняйте в конкретном МФЦ).Адрес 1Адрес 2Важно! Уточните возможность оказания услуги при личном визите или по телефону. (Средняя оценка: 4 |…

Источник: http://naiti-advokata.ru/logarifmy-dejstvija-nad-logarifmami-46678/

Логарифмы | Материалы для подготовки к ЕГЭ по математике ЕГЭ-Студия

Логарифмы действия над логарифмами

Предыдущую статью о показательных уравнениях мы начали с уравнения 2x = 8. Там всё было ясно: x = 3.

А теперь рассмотрим уравнение 2x = 7.

По графику функции y = 2x мы видим, что это уравнение имеет корень, и притом единственный.

Ясно, что этот корень — не целое число (так как 22 = 4, 23 = 8). Более того, оказывается, что он не является даже рациональным числом, т. е. не представляется в виде обыкновенной дроби. Интуитивно мы чувствуем лишь, что он меньше 3, но не намного.

Этот корень обозначается log27 (читается: «логарифм семи по основанию два». Он является иррациональным числом, т. е. бесконечной непериодической десятичной дробью. Калькулятор даёт: log27 = 2,807354922057604107…

Итак, наше число log27 — это показатель степени, в которую надо возвести 2, чтобы получить 7.

Теперь дадим общее определение логарифма. Пусть a > 0 и a ≠ 1 (условия те же, что и для основания показательной функции).

Определение. Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается logab) — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

Иными словами,

Например:

  так как  

, так как 

  так как  ;

, так как  .

Логарифм с основанием 10 называется десятичным и обозначается lg. Например, lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0,01 = −2.

Логарифм с основанием e называется натуральным и обозначается ln.

Обратите внимание: логарифм определён только для положительных чисел. Причина заключается в том, что показательная функция может принимать лишь положительные значения. Например, число log2(−4) не существует: в какую бы степень мы ни возводили 2, мы никогда не получим −4.

Не забывайте также про ограничения на основание логарифма: 0 < a < 1 или a > 1.

Основные формулы

По определению, logab — это показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b:

Формула (1) называется основным логарифмическим тождеством.
Вот еще один вариант записи основного логарифмического тождества:

logaax=x.

Перечислим свойства логарифмов. Они являются простыми следствиями правил действия со степенями. Все логарифмы ниже считаются определёнными.

Логарифм произведения — это сумма логарифмов:

loga(bc) = logab + logac.(2)

Логарифм частного — это разность логарифмов:

(3)

Показатель степени логарифмируемого числа «спрыгивает» перед логарифмом:

(4)

Показатель степени основания логарифма тоже «спрыгивает», но в виде обратного числа:

(5)

Формулы (4) и (5) вместе дают:

(6)

В частности, если m = n, мы получаем формулу:

(7)

Например, .

Наконец, важнейшая формула перехода к новому основанию:

(8)

В частности, если c = b, то logbb = 1, и тогда:

(9)

Приведём несколько примеров из банка заданий.
1. (применили формулу (2) суммы логарифмов).

2. (применили основное логарифмическое тождество(1))

3. (применили формулу (4).

4. (применили формулу (9), перейдя к новому основанию 0,8).

5. (применили формулу (3) разности логарифмов)

Немного истории

Теперь вы поняли, что такое логарифмы и как ими пользоваться. Но для чего они всё-таки нужны? Или это просто такая математическая игрушка с хитрой инструкцией по применению?

Понятие логарифма и логарифмические таблицы появились в 17 веке, и значение их было огромно.

Это в наши дни вычисления не представляют труда — у каждого есть калькулятор. А как считали в «докомпьютерные» времена?

Складывать и вычитать можно было на счётах, а вот умножать и делить приходилось «в столбик» — медленно и трудно.

В 15–17 веках, в эпоху великих географических открытий, стали бурно развиваться торговля, экономика и наука. Требования к математике росли: расчёты становились более сложными, а точность — например, для решения навигационных задач — нужна была всё более высокая.

Необходим был инструмент, позволяющий упростить и ускорить расчёты, и таким инструментом явились логарифмы.

Предположим, что b и c — большие числа, которые надо перемножить. Появление таблиц логарифмов (например, с основанием 10) существенно упростило эту задачу. Теперь вычислителю достаточно было найти по таблицам десятичные логарифмы чисел b и c, сложить их (на счётах) и получить логарифм произведения: lgb + lgc = lg(bc).

А затем по таблице логарифмов найти само произведение чисел b и c.

Недаром французский математик и астроном Лаплас сказал, что изобретение логарифмов удлинило жизнь вычислителей. Логарифмическая линейка (которой инженеры пользовались до 70-х годов двадцатого века) была не менее прогрессивным изобретением, чем современный калькулятор.

Но это еще не всё! Мы не занимались бы логарифмами, если бы они имели лишь историческую, «музейную» ценность. О неожиданных применениях логарифмов мы расскажем в следующей статье, посвящённой логарифмической функции.

Источник: https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/logarifmy/

Нестандартные свойства логарифмов и цепь арифметических операций

Логарифмы действия над логарифмами
1 Насонов И.В. 1 1 г. Липецка, МАОУ СОШ № 59, 7 класс Блюмин С.Л. (г. Липецк, ЛГТУ) 1. Арнольд И.В. Теоретическая арифметика. – М.: ГУПИ, 1938. – 480 с. 2. Carroll M. The Natural Chain of Binary Arithmetic Operations and Generalized Derivatives [arXiv.org/math.HO/0112050].

В данной работе систематически используется операция логарифмирования, тесно связанная с операцией возведения в степень. Напомним, что логарифм числа х по основанию a есть показатель той степени, в какую нужно возвести а, чтобы получить х.

Ниже представлены некоторые свойства степеней и логарифмов:

Бином Ньютона

Отправной точкой для данного исследования послужило свойство:

Оно вызвало у меня 2 вопроса:

– логарифм суммы равен какой операции над логарифмами слагаемых?

– логарифм какой операции равен произведению логарифмов операндов?

(операнд – аргумент операции), то есть

Среди общеизвестных свойств логарифмов эти свойства отсутствуют.

Это не случайно. В книге [1] на стр. 160 читаем:

«Отметим еще малоизвестную коммутативную и ассоциативную операцию, ступенью ниже сложения, относительно которой сложение, как легко убедиться, дистрибутивно:

Определенная так функция двух переменных и есть, очевидно, та функция от log x и log y, которая выражает log(x + y) через log x и log y: log(x + y) = f(log x, log y).»

К сожалению, автор [1] не указывает тот источник из (довольно представительного на то время – 1938 год) списка литературы, в котором впервые была указана эта малоизвестная операция. Сам автор пишет:

«Имея в виду сравнительную элементарность вопросов, я позволил себе не наводить литературных справок и потому лишен возможности сослаться на какие-либо литературные источники по указанным (этому и другим) пунктам.»

Следует отметить, что упоминание об указанной малоизвестной операции, ступенью ниже сложения, завершает «§ 45. Операции высших ступеней» «Главы V.

Операторная теория действий третьей ступени»; понимая под операцией первой ступени сложение, а второй – умножение, автор подробно рассматривает в указанной главе операцию третьей ступени, а в указанном параграфе намечает «само собой напрашивающийся вопрос об операциях четвертой и высших ступеней».

Современное изложение этих вопросов, без ссылки на книгу [1], содержится в работе [2], посвященной «естественной цепи бинарных арифметических операций».

Операции определяются с использованием обозначаемых через ln натуральных логарифмов, для которых фигурирующее выше η равно числу е – основанию натуральных логарифмов, причем ex часто обозначается exp x.

В силу этого определения ln ex = x, exp ln x = x.

Именно в рамках этой цепи справедливо общее свойство логарифмов

.

При этом цепь определяется следующими соотношениями:

– для n = 0 ,

так что, в отличие от [1], обычное сложение является операцией не первой, а нулевой ступени;

– для n ≤ 0 ;

– для n ≥ 0 .

В силу последнего определения при n = 0

оказывается обычным умножением – операцией не второй, а первой ступени в отличие от [1]; рассмотренная в [1] операция третьей ступени оказывается операцией второй ступени

.

Теперь:

– общеизвестное свойство;

,

что дает ответ на второй вопрос;

если же положить в первом определении n = 0, , , , , то

,

что дает ответ на первый вопрос – ответ, совпадающий с указанным в [1].

Поскольку мы столкнулись с «нестандартными» числовыми операциями, мне стало интересно, образуют ли пары этих операций числовые поля. Для того, чтобы узнать это, проверим пары операций на аксиомах поля действительных чисел.

Далее используем тройную нумерацию: первое число – индекс первой операции пары, второе – номер операции пары (первая или вторая; в последней аксиоме, связывающей операции, на этом месте стоит 3), третье – номер аксиомы. Кроме того, далее будем обозначать операцию ⊕–1 знаком ⊕, без какого-либо индекса.

Вот всем известная пара операций, обычное сложение и обычное умножение , удовлетворяющая аксиомам числового поля – именно для них были впервые сформулированы эти аксиомы:

0.1.1. (ассоциативность) +

0.1.2. (существование нейтрального элемента) +

0.1.3. (существование противоположного элемента: b = -a) +

0.1.4. (коммутативность) +

0.2.1. (ассоциативность) +

0.2.2. (существование нейтрального элемента) +

0.2.3. (существование обратного элемента: b = 1/a) +

0.2.4. (коммутативность) +

0.3.1. (дистрибутивность) +

Теперь делаем то же с парой , когда сложение необычное, а роль умножения играет обычное сложение:

-1.1.1. (a⊕b)⊕c = a(b⊕c) (ассоциативность) +

-1.1.2. -∞⊕a = a⊕-∞ = a (существование нейтрального элемента) +

-1.1.3. a⊕b = -∞ (существование противоположного элемента) –

-1.1.4. a⊕b = b⊕a (коммутативность) +

-1.2.1. (a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность) +

-1.2.2.(a + 0) = (0 + a) = a (существование нейтрального элемента) +

-1.2.3. a + b = 0 (существование обратного элемента: b = -a) +

-1.2.4. a + b = b + a (коммутативность) +

-1.3.1. a⊕b + c = (a + с)⊕(b + c) (дистрибутивность) +

Здесь мы видим, что аксиома -1.1.3. не выполняется, отсюда делаем вывод, что множество чисел с этими операциями поля не образует – отсутствует противоположный элемент; в этом случае говорят о полуполе.

Третья пара операций , роль сложения играет обычное умножение, а умножение необычное:

1.1.1. (ассоциативность) +

1.1.2. (существование нейтрального элемента) +

1.1.3. (существование противоположного элемента: b = 1/a) +

1.1.4. (коммутативность) +

1.2.1. (ассоциативность) +

1.2.2. (существование нейтрального элемента) +

1.2.3. (существование обратного элемента, ) +

1.2.4. (коммутативность) +

1.3.1. (дистрибутивность) +

Делаем вывод: множество чисел с этой парой операций образует поле.

Проверим справедливость некоторых аксиом:

1.2.1:

1.2.2:

1.2.3:

1.2.4:

Выводы

В ходе работы мы нашли как операцию, выражающую логарифм суммы через логарифмы слагаемых, так и операцию, логарифм которой равен произведению логарифмов операндов. Так же мы узнали, образует ли множество чисел с «нестандартными» парами операций числовые поля. При этом возникла отличная от числового поля структура – полуполе.

Направление дальнейших исследований – проверить аксиомы для других пар операций цепи из [2] и определить возникающие при этом алгебраические структуры.

Библиографическая ссылка

Насонов И.В. Нестандартные свойства логарифмов и цепь арифметических операций // Старт в науке. – 2017. – № 4-1. – С. 60-62;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=677 (дата обращения: 09.10.2019).

Источник: https://science-start.ru/ru/article/view?id=677

Логарифмы и их свойства

Логарифмы действия над логарифмами

Урок по теме: «Логарифмы и их свойства»

Тип урока: урок закрепления знаний (урок комплексного применения знаний)

Вид: урок-консультация с элементами контроля и самоконтроля

Цель урока:

  • вторичное осмысление уже известных знаний, выработка умений и навыков по их применению
  • (повторить определение логарифма, свойства логарифмов; научиться применять их при решении заданий, проверять правильность полученных решений.)

Задачи:

  • развивать мыслительные операции посредством конкретизации, зрительную память, потребность к самообразованию,
  • способствовать развитию познавательных процессов,
  • воспитывать познавательную активность, чувство уверенности в себе; культуру общения.

Оборудование:ПК, мультимедиапроектор, раздаточный материал: карточки с заданиями, справочный материал, презентация.

План урока:

Организационный момент. (2 мин)

Актуализация знаний (10 мин)

Этап комплексного применения знаний. (15 мин)

Представление познавательного материала (7 мин)

Контроль знаний и умений (7 мин)

Итог урока. Рефлексия. (3 мин)

Домашнее задание. (1 мин)

Ход урока:

Организационный этап.

(слайд 1) Добрый день! Я надеюсь, что этот урок пройдет интересно, с большой пользой для всех. Тема сегодняшнего урока «Логарифмы и их свойства »

(слайд 2)

(слайд 3) Сформулируйте цель нашего урока, исходя из его темы. (Показать знания определения логарифма, свойств логарифма и уметь применять эти знания при решении заданий).

Кроме того, на сегодняшнем уроке мы познакомимся с логарифмами в природе и в жизни человека.

(слайд 4)

Принято, что день обычно начинается с зарядки, а урок с разминки. Проведем разминку и мы.

Актуализация знаний.

На прошлом уроке мы познакомились с определением логарифма, его основными свойствами.

Давайте вспомним полученные знания по данной теме и ответим на вопросы. (Вставьте пропущенные слова)

(слайд 5)Логарифмом числа b по основанию a называется ______ , в которую надо ___________, чтобы получить _____________________

(слайд 6 ) aв степени логарифм числа b по основанию _____ равен _________. (слайд 7)Логарифм единицы по основанию a равен _______________________ .

(слайд 8) Логарифм числа a по основанию a равен _______________________ .

 (слайд 9)Логарифм произведения равен ______________________________ .

(слайд 10)Логарифм частного равен ____________________________________ .

(слайд 11) Логарифм степени равен _____________ показателя степени на логарифм _____________.

(слайд 12) Сейчас проверим как вы запомнили основные формулы. Назовем этот этап урока «Лови ошибку!»

Я раздаю вам листочки с неверными равенствами (лист 1). Ваша задача -исправить мои ошибки.

(слайд 13) – Проверка ответов

Неверные равенства

Правильные ответы

не существует

6.

(У ребят на партах лежат оценочные листы. )

(слайд 14) Проверили результат и по критериям выставите себе оценку за этот этап работы. (***)

Продолжаем разминку.(Устно решить примеры на вычисление)

(слайд 16)

Вычислить, используя определение логарифма

(слайд 17)

Вычислить, используя основное логарифмическое тождество

(слайд 18)

Вычислить, используя свойства логарифмов

(слайд 19)

Этап комплексного применения знаний

Разминка закончилась. Открываем тетради. В тетрадях записываем число. Задание «Вычислить» (решение примеров из карточек (лист 2) в тетрадях и на доске)

(слайд 20 – 22)

Вычислить, используя определение и свойства логарифмов:

лист 2

(слайд 23)

Сейчас предлагаю выполнить математический диктант «Проверь себя»

(слайды 24-32)

лист 3

Найти x:

Вычислить:

(слайд 33)

(Проверка математического диктанта – выписать из таблицы букву, соответствующую найденному ответу. Буквы записать в строку по порядку)

Е – 100; Ж – 2; П – 1; О – 3; Н – -1; Д – 1/3; Р – 0; К – -3; А – 4; Л – -10

Джон Непер

(заполнить оценочный лист)

Представление познавательного материала

(Приложение 1 «В мире логарифмов» слайды 34-48)

(слайд 49)

Контроль знаний и умений

Сейчас вы немного отдохнули, получили информацию , где, когда и зачем применялись и применяются логарифмы.

Подошло время подвести итог в виде теста, задания которого включают в себя весь материал урока за сегодня.

На выполнение работы вам даётся 7 минут.

(лист 3)

Выполнение заданий проверочного теста

1. Вычислите

1) 28 2) 13 3) 75 4) 30

2. Вычислите

1) 0 2) 1 3) 4 4) 8

3. Вычислите

1) 7 2) – 2 3) – 1 4) 1

4. Вычислите

1) 48 2) 49 3) 47 4) 42

5. Найдите значение выражения

1) -127 2) 127 3) 1 4) -1

(слайд 50) Правильные ответы: 1). 75; 2). 0; 3). -1; 4). 48; 5). 1
 

(слайд 51)

Критерии оценки:

«5» – 5 б.; «4» – 4 б.; «3» – 3 б.

(Проверить ответы и согласно критериям выставить оценку в оценочном листе)

Итог урока. Рефлексия.

Подведем итоги нашего урока. Ваше мнение о проделанной работе. Оцените свою работу на уроке.

(слайд 52)

повторили определение и основные свойства логарифмов

использовали их при решении заданий, встречающихся в зачетной работе и на ЕГЭ

познакомились с создателем логарифмов – Д.Непером

узнали, где можно встретить логарифмы

(слайд 53)

Значимость логарифмов

«С точки зрения вычислительной практики, изобретение логарифмов по важности можно смело поставить рядом с другим, более древним великим изобретением индусов – нашей десятичной системой нумерации»

Успенский Я.В., русский математик

(слайд 54)

Домашнее задание.

Из открытого банка заданий ЕГЭ (http://mathege.ru) выполнить №№ 4325, 4329, 4385, 4419, 4455 (задания на карточках)

4325. Найдите значение выражения .

4329. Найдите значение выражения .

4385. Найдите значение выражения .

4419. Найдите значение выражения .

4455. Найдите значение выражения .

Найдите значение выражения 

Найдите значение выражения 

Здесь будет файл: /data/edu/files/v1459279976.ppt (Презентация к уроку)

Ф.И.

лист 2

Вычислить, используя определение

и свойства логарифмов:

лист 3

Ф. И.___________________________

Проверочный тест

1. Вычислите

1) 28 2) 13 3) 75 4) 30

2. Вычислите

1) 0 2) 1 3) 4 4) 8

3. Вычислите

1) 7 2) – 2 3) – 1 4) 1

4. Вычислите

1) 48 2) 49 3) 47 4) 42

5. Найдите значение выражения

1) -127 2) 127 3) 1 4) -1

Оценка

лист 4

Домашнее задание из открытого банка заданий ЕГЭ (http://mathege.ru)

4325. Найдите значение выражения .

4329. Найдите значение выражения .

4385. Найдите значение выражения .

4419. Найдите значение выражения .

4455. Найдите значение выражения .

Найдите значение выражения 

Найдите значение выражения 
 

Приложение 1

Познавательный материал «В мире логарифмов»

(слайд 34)

Джону Неперу принадлежит сам термин «Логарифм», который он перевел как «Искусственное число». Этот термин был введен в 1594 году.

Джон Непер-шотландец. В 16 лет отправился на континент, где в течении 5 лет в университете изучал математику, физику, астрономию. В своей дальнейшей жизни Непер серьезно не занимался математикой и астрономией. Имел свое имение, занимался земледелием и изобретением приборов.

К идее логарифмических вычислений Непер пришел еще в 80-х годах XVI века, однако опубликовал свои таблицы только в 1614 году, после 25-летних вычислений. Они вышли под названием «Описание чудесных логарифмических таблиц».

Логарифмы позволили перейти от сложных действий: возведение в степень, извлечение корня к умножению и делению, а затем к сложению и вычитанию.

(слайд 35)

Логарифмы послужили основой создания замечательного вычислительного инструмента – логарифмической линейки, которая более 360 лет служила инженерно-техническим работникам всего мира (вплоть до 70-х годов двадцатого века). Логарифмическая линейка имеет 12 шкал, с помощью которых можно выполнить действия умножения, деления, возведение в степень (чаще всего в квадрат и в куб), извлечение квадратных и кубических корней.

Точность выполнения операций была достаточно высокая – 4-5 знаков после запятой.

Интересный факт: отправляясь на Луну, американские астронавты

взяли с собой логарифмическую линейку в качестве запасного калькулятора.

(слайд 36)

С логарифмами связана кривая, получившая название логарифмическая спираль или изогнутая спираль. Это особый вид спирали, часто встречающийся в природе. Логарифмическая спираль была впервые описана французским математиком Рене Декартом.

Логарифмическая спираль тесно связана с явлениями природы. В качестве доказательства этого удивительного соседства можно привести такие примеры:

(слайд 37)

живые существа обычно растут во всех направлениях, сохраняя общее начертание своей формы. Раковины улиток и маллюсков могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину им приходится скручиваться.

(слайд 38)

в ухе человека есть орган – улитка, который тоже закручен по логарифмической спирали.

(слайд 39)

чешуйки сосновой шишки и семечки в подсолнухе расположены по дугам, близким к логарифмической спирали.

(слайд 40)

паук эпейра, сплетая паутину, скручивает нити вокруг центра по логарифмической спирали

(слайд 41)

рога горных козлов (архаров) закручены по логарифмической спирали

(слайд 42)

по логарифмической спирали формируется тело циклона, океанские волны

(слайд 43)

можно обратить внимание, что Галактики открытого космоса (в том числе Галактика, включающая в себя Солнечную систему), хвосты комет – это тоже явления в природе логарифмической спирали.

(слайд 44)

Интересный факт: Ночные бабочки, которые пролетая большие расстояния, ориентируются по параллельным лунным лучам. Но если они сменят ориентацию на точечный источник света, например, на пламя свечи, то инстинкт их тут же подводит и бабочки попадают в пламя по скручивающейся логарифмической спирали.

Еще один интересный факт: если вы хотите немедленно наблюдать логарифмическую спираль в природе, то согните указательный палец и он тут же примет форму логарифмической спирали.

(слайд 45)

При оценке видимой яркости светил и при измерении громкости шума, имеют дело с логарифмической зависимостью между величинами ощущения и порождающего его раздражения. Оба эти явления – следствия общего психофизического закона, согласно которому ощущения измеряются пропорционально логарифму раздражения.

(слайд 46)

Химическая шкала кислотности очень близка к шкале звездных величин и тоже связана с логарифмами.

(слайд 47)

Классификация силы землетрясений, созданная и представленная в 1935 году геологом Чарльзом Рихтером в виде шкалы, основана на принципе логарифма.

(слайд 48)

Логарифмы используются при нахождении банковского процента по вкладам. Зная процент по вкладам, который предлагают разные банки, можно определить какой из них более выгодный.

Приложение 2

Оценочный лист (фамилия, имя)

Название

Оценка

«Лови ошибку!»

Математический диктант

Проверочный тест

Дополнительно: за работу на уроке

Итоговая оценка за урок:

Источник: https://xn--j1ahfl.xn--p1ai/library/logarifmi_i_ih_svojstva_213418.html

ПраваВласть
Добавить комментарий